Question

【題目】已知函數f（x）=x3+ax2+bx+c，曲線y=f（x）在x=1處的切線為l：3x﹣y+1=0，當x= 時，y=f（x）有極值．
（1）求a、b、c的值；
（2）求y=f（x）在[﹣3，1]上的最大值和最小值．

Answer 1

【答案】
（1）解：由f（x）=x3+ax2+bx+c，得

f′（x）=3x2+2ax+b

當x=1時，切線l的斜率為3，可得2a+b=0．①

當x= 時，y=f（x）有極值，則f′ =0，

可得4a+3b+4=0．②

由①、②解得a=2，b=﹣4．

由于l上的切點的橫坐標為x=1，

∴f（1）=4．∴1+a+b+c=4．

∴c=5．

（2）解：由（1）可得f（x）=x3+2x2﹣4x+5，

∴f′（x）=3x2+4x﹣4．

令f′（x）=0，得x=﹣2，或x= ．

∴f（x）在x=﹣2處取得極大值f（﹣2）=13．

在x= 處取得極小值f = ．

又f（﹣3）=8，f（1）=4．

∴f（x）在[﹣3，1]上的最大值為13，最小值為 ．

【解析】（1）先對函數f（x）進行求導，根據f'（1）=3，f′ =0，f（1）=4可求出a，b，c的值，得到答案．（2）由（1）可知函數f（x）的解析式，然后求導數后令導函數等于0，再根據導函數的正負判斷函數在[﹣3，1]上的單調性，最后可求出最值．
【考點精析】根據題目的已知條件，利用函數的極值與導數和函數的最大(小)值與導數的相關知識可以得到問題的答案，需要掌握求函數的極值的方法是:（1）如果在附近的左側,右側,那么是極大值（2）如果在附近的左側,右側,那么是極小值；求函數在上的最大值與最小值的步驟：（1）求函數在內的極值；（2）將函數的各極值與端點處的函數值，比較，其中最大的是一個最大值，最小的是最小值．