設函數
，
.
（1）若函數
在
上單調遞增，求實數
的取值范圍；
（2）求函數的極值點.
（3）設
為函數的極小值點，
的圖象與
軸交于
兩點,且
，
中點為
，
求證：
．
（1）
；（2）詳見解析；（3）詳見解析.
解析試題分析：（1）先求
,在
上
恒成立，反解參數,轉化成
恒成立問題，利用基本不等式求
的最小值問題；
（2）先求函數的導數，因為
,所以設
,分情況討論在不同情況下，
的根，通過
來討論，主要分
以及
的情況，求出導數為0的值，判斷兩側的單調性是否改變，從而確定極值點；
（3）
,兩式相減，結合中點坐標公式，
,表示出
,設出的能表示正負的部分函數，再求導數，利用導數得出單調性，從而確定
.
試題解析：（1）
依題意得，在區間上不等式
恒成立.
又因為
，所以.所以
，
所以實數的取值范圍是
. 2分
（2）
，令
①顯然，當
時，在
上
恒成立，這時
，此時，函數沒有極值點； ..3分
②當
時，
（ⅰ）當
，即
時，在上
恒成立，這時
，此時，函數沒有極值點； .4分
（ⅱ）當
，即
時，
易知，當
時，
，這時
；
當
或
時，，這時；
所以，當時，
是函數的極大值點；
是函數的極小值點.
綜上，當
時，函數沒有極值點； .6分
當時，是函數的極大值點；是函數的極小值點. 8分
（Ⅲ）由已知得
兩式相減，
得：
①
由
，得
孟建平錯題本系列答案
超能學典應用題題卡系列答案科目：高中數學 來源： 題型：解答題
已知函數
，其中m，a均為實數．
（1）求
的極值；
（2）設
，若對任意的
，
恒成立，求
的最小值；
（3）設
，若對任意給定的
，在區間
上總存在
，使得
成立，求
的取值范圍．
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科目：高中數學 來源： 題型：解答題
已知函數
，
（其中
為常數）．
（1）如果函數
和
有相同的極值點，求的值；
（2）設
，問是否存在
，使得
，若存在，請求出實數的取值范圍；若不存在，請說明理由．
（3）記函數
，若函數
有5個不同的零點，求實數的取值范圍．
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科目：高中數學 來源： 題型：解答題
已知函數
，其中
，
是自然對數的底數.
（1）求函數
的零點；
（2）若對任意
均有兩個極值點，一個在區間（1，4）內，另一個在區間[1，4]外，求a的取值范圍；
（3）已知
，且函數
在R上是單調函數，探究函數
的單調性.
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，其導函數
的圖象經過點
，
，如圖所示．
的極大值點；
的值；
，求
上的最小值．
的直線與曲線
和
都相切，求
的值
，（其中常數
）
時，求曲線在
處的切線方程；
使得不等式
成立，求
的取值范圍.
.
在
處的切線方程；
時，求證：
；
，且
對任意
恒成立，求k的最大值.
，且
是函數
的一個極小值點.
的值；
上的最大值和最小值.