Question

已知雙曲線C的兩條漸近線都過原點，且都以點A(，0)為圓心，1為半徑的圓相切，雙曲線的一個頂點A₁與A點關于直線y=x對稱.
(1)求雙曲線C的方程.
(2)設直線l過點A，斜率為k,當0＜k＜1時，雙曲線C的上支上有且僅有一點B到直線l的距離為，試求k的值及此時B點的坐標.

Answer 1

(1) x²－y²=2， (2) B(2,)

(1)設雙曲線的漸近線為y=kx,由d==1,解得k=±1.
即漸近線為y=±x,又點A關于y=x對稱點的坐標為(0，).
∴a==b,所求雙曲線C的方程為x²－y²=2.
(2)設直線l: y=k(x－)(0＜k＜1,
依題意B點在平行的直線l′上，且l與l′間的距離為.
設直線l′:y=kx+m,應有,
化簡得m²+2km=2                          ②
把l′代入雙曲線方程得(k²－1)x²+2mkx+m²－2=0,
由Δ=4m²k²－4(k²－1)(m²－2)=0 
可得m²+2k²="2                                 " ③
②、③兩式相減得k=m,代入③得m²=,解得m=,k=,
此時x=,y= 故B(2,).