Question

雙曲線C：="1" (a＞0,b＞0)的右頂點為A，x軸上有一點Q（2a，0），若C上存在一點P，使·=0，求此雙曲線離心率的取值范圍.

Answer 1

設P點坐標為（x,y），
則由·=0，得AP⊥PQ，
則P點在以AQ為直徑的圓上，
即+y²=           ①
又P點在雙曲線上，得="1    " ②
由①，②消去y,得
(a²+b²)x²-3a³x+2a⁴-a²b²=0.
即［（a²+b²）x²-（2a³-ab²）］（x-a）=0.
當x=a時，P與A重合，不符合題意，舍去.
當x=時，滿足題意的P點存在，
需x=＞a,化簡得a²＞2b²,
即3a²＞2c²,＜.∴離心率e=∈.