Question

【題目】橢圓，是橢圓的左右頂點，點P是橢圓上的任意一點.

（1）證明：直線，與直線，斜率之積為定值.

（2）設經過且斜率不為0的直線交橢圓于兩點，直線與直線交于點，求證：為定值.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析； （2）證明見解析.

【解析】

（1）設點，結合直線的斜率公式和橢圓的方程，代入求得直線與直線的斜率之積為定值.

（2）設直線的方程為，聯立方程組，得到，進而求得，再聯立直線的方程組，求得點的橫坐標，結合向量的數量積的公式，即可求解.

（1）由題意，設點,

則直線的斜率為 ，直線的斜率為，

所以，

又由點在橢圓上，可得，即，

所以，

即直線與直線的斜率之積為定值.

（2）由直線過點，所以直線的方程為，

聯立方程組，整理得，

設，則，

則，即，

又由直線，直線，

聯立方程組，可得，

整理得，

解得，即點

又由向量，

所以（定值），

即為定值.