Question

設定義在R上的函數f （x）=a₀x⁴+a₁x³+a₂x²+a₃x （a_i∈R，i=0，1，2，3 ），當x=-

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時，f （x）取得極大值

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，并且函數y=f（x）的圖象關于y軸對稱．
（1）求f （x）的表達式；
（2）試在函數f （x）的圖象上求兩點，使以這兩點為切點的切線互相垂直，且切點的橫坐標都在區間[-1，1]上；
（3）求證：|f （sin x）-f （cos x）|≤

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（x∈R）．

Answer 1

分析：（1）先根據圖象關于y軸對稱，得其偶函數f（-x）=f（x），求得a₀=a₂=0，再利用導數研究單調性，列方程求得a₁和a₃，從而求f （x）的表達式；
（2）設所求兩點的橫坐標為x₁、x₂再利用切線的斜率之積為1：（2x₁²-1）（2x₂²-1）=-1，即可求得結果；
（3）因為|f（sinx）-f（cosx）|≤|f（sinx）|+|f（cosx）|，故欲求證：|f （sin x）-f （cos x）|≤

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（x∈R），只須探求|f（sinx）|和|f（cosx）|的取值范圍即可，故只要利用導數研究函數f（x）的單調性即可．

解答：解：∵f（x）=4a₀x³+3a₁x²+2a₂x+a₃為偶函數，∴f（-x）=f（x），
∴-4a₀x³+3a₁x²-2a₂x+a₃=4a₀x³+3a₁x²+2a₂x+a₃，
∴4a₀x³+2a₂x=0對一切x∈R恒成立，
∴a₀=a₂=0，∴f（x）=a₁x³+a₃x
又當x=-

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時，f（x）取得極大值

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∴

f(- 2 2 )= 2 3   f′(- 2 2 )=0

解得

a1= 2 3 a3=-1

∴f（x）=

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x³-x．
（2）解：設所求兩點的橫坐標為x₁、x₂（x₁＜x₂），則（2x₁²-1）（2x₂²-1）=-1
又∵x₁，x₂∈[-1，1]，∴2x₁²-1∈[-1，1]，2x₂²-1∈[-1，1]
∴2x₁²-1，2x₂²-1中有一個為1，一個為-1，
∴

x1=0 x2=1

或

x1=-1 x2=0

，
∴所求的兩點為（0，0）與（1，-

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）或（0，0）與（-1，

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）．
（3）證明：易知sinx∈[-1，1]，cosx∈[-1，1]．
當0＜x＜

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時，f（x）＜0；當

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＜x＜1時，f（x）＞0．
∴f（x）在[0，

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]為減函數，在[

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，1]上為增函數，
又f（0）=0，f（

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）=-

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，f（1）=-

1

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，而f（x）在[-1，1]上為奇函數，
∴f（x）在[-1，1]上最大值為

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，最小值為-

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，即|f（x）|≤

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，
∴|f（sinx）|≤

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，|f（cosx）|≤

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，∴|f（sinx）-f（cosx）|≤|f（sinx）|+|f（cosx）|≤

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點評：本題主要考查了待定系數法求函數解析式、不等式的證明、利用導數研究函數的單調性，屬于中檔題．