Question

【題目】已知函數

（1）若對任意的，恒成立，求實數的取值范圍；

（2）若的最小值為，求實數的值；

（3）若對任意實數、、，均存在以、、為三邊邊長的三角形，求實數的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）

【解析】

（1）問題等價于4x+k2x+1＞0恒成立，分離出參數k后轉化為求函數的最值問題即可；

（2），令，則，分k＞1，k＝1，k＜1三種情況進行討論求出f（x）的最小值，令其為﹣3即可解得k值；

（3）由題意得f（x1）+f（x2）＞f（x3）對任意x1，x2，x3∈R恒成立，當k＝1時易判斷；當k＞1，k＜1時轉化為函數的最值問題解決即可，借助（2）問結論易求函數的最值.

（1）因為4x+2x+1＞0，所以f（x）＞0恒成立，等價于4x+k2x+1＞0恒成立，即k＞﹣2x﹣2﹣x恒成立，

因為﹣2x﹣2﹣x＝﹣（2x+2﹣x）≤﹣2，當且僅當2x＝2﹣x，即x＝0時取等號，所以k＞﹣2.

（2），令，則，

當k＞1時，無最小值，舍去；

當k＝1時，y＝1，最小值不是﹣3，舍去；

當k＜1時，，最小值為，解得.

綜上所述，k＝﹣11．

（3）由題意，f（x1）+f（x2）＞f（x3）對任意x1，x2，x3∈R恒成立．

當k＞1時，因，且，故，即1＜k≤4；

當k＝1時，f（x1）＝f（x2）＝f（x3）＝1，滿足條件；

當k＜1時，，且，故，解得；

綜上所述，