Question

【題目】已知函數（是非零實常數）滿足且方程有且僅有一個實數解.

（1）求的值

（2）當時，不等式恒成立，求實數的取值范圍

（3）在直角坐標系中，求定點到函數圖像上的任意一點的距離的最小值，并求取得最小值時的值

Answer 1

【答案】（1），；（2）；（3）當或時，取得最小值，最小值為

【解析】

（1）由可得；將化為，由方程僅有一個實數解可確定，從而求得；

（2）將不等式化為對恒成立，分別在、和三種情況下，采用分離變量的方式求得的取值范圍，進而得到結果；

（3）設，由兩點間距離公式可整理得，令可得到，根據二次函數的性質可求得最值點和最值.

（1） ，即

由得：

有且僅有一個實數解 ，解得：

（2）由（1）知：

可化為：

即對恒成立

當時，不等式為，顯然不成立，不合題意；

當時， ，解得：；

當時， ，解集為；

綜上所述：的取值范圍為

（3）設

則

令，則

當，即時，

當或，即或時，取得最小值，最小值為