Question

【題目】已知a＞0，函數(shù) ．
（1）記f（x）在區(qū)間[0，4]上的最大值為g（a），求g（a）的表達(dá)式；
（2）是否存在a使函數(shù)y=f（x）在區(qū)間（0，4）內(nèi)的圖象上存在兩點(diǎn)，在該兩點(diǎn)處的切線互相垂直？若存在，求出a的取值范圍；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）解：當(dāng)0≤x≤a時(shí)， ；當(dāng)x＞a時(shí)，

∴當(dāng)0≤x≤a時(shí)， ，f（x）在（0，a）上單調(diào)遞減；

當(dāng)x＞a時(shí)， ，f（x）在（a，+∞）上單調(diào)遞增．

①若a≥4，則f（x）在（0，4）上單調(diào)遞減，g（a）=f（0）=

②若0＜a＜4，則f（x）在（0，a）上單調(diào)遞減，在（a，4）上單調(diào)遞增

∴g（a）=max{f（0），f（4）}

∵f（0）﹣f（4）= =

∴當(dāng)0＜a≤1時(shí)，g（a）=f（4）= ；當(dāng)1＜a＜4時(shí)，g（a）=f（0）= ，

綜上所述，g（a）= ；

（2）解：由（1）知，當(dāng)a≥4時(shí)，f（x）在（0，4）上單調(diào)遞減，故不滿足要求；

當(dāng)0＜a＜4時(shí)，f（x）在（0，a）上單調(diào)遞減，在（a，4）上單調(diào)遞增，若存在x1，x2∈（0，4）（x1＜x2），使曲線y=f（x）在

兩點(diǎn)處的切線互相垂直，則x1∈（0，a），x2∈（a，4），且f′（x1）f′（x2）=﹣1

∴ =﹣1

∴ ①

∵x1∈（0，a），x2∈（a，4），

∴x1+2a∈（2a，3a）， ∈（ ，1）

∴①成立等價(jià)于A=（2a，3a）與B=（ ，1）的交集非空

∵ ，∴當(dāng)且僅當(dāng)0＜2a＜1，即 時(shí)，A∩B≠

綜上所述，存在a使函數(shù)y=f（x）在區(qū)間（0，4）內(nèi)的圖象上存在兩點(diǎn)，在該兩點(diǎn)處的切線互相垂直，且a的取值范圍是（0， ）．

【解析】（1）利用絕對值的幾何意義，分類討論，結(jié)合導(dǎo)數(shù)確定函數(shù)的單調(diào)性，從而可得g（a）的表達(dá)式；（2）利用曲線y=f（x）在兩點(diǎn)處的切線互相垂直，建立方程，從而可轉(zhuǎn)化為集合的運(yùn)算，即可求得結(jié)論．
【考點(diǎn)精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解函數(shù)的最大(小)值與導(dǎo)數(shù)的相關(guān)知識，掌握求函數(shù)在上的最大值與最小值的步驟：（1）求函數(shù)在內(nèi)的極值；（2）將函數(shù)的各極值與端點(diǎn)處的函數(shù)值，比較，其中最大的是一個(gè)最大值，最小的是最小值．