Question

已知f（x）=（1+x）^m+（1+x）ⁿ（m，n∈N^*）的展開式中x的系數為19，求f（x）的展式式中x²的系數的最小值．

Answer 1

f（x）=1+C_m¹x+C_m²x²+…+C_m^mx^m+1+C_n¹x+…+C_nⁿxⁿ=2+（C_m¹+C_n¹）x+（C_m²+C_n²）x²+…（2分）
由題意m+n=19（m，n∈N^*）…（4分）
x²項的系數為

C

2m

+

C

2n

=

m(m-1)

2

+

n(n-1)

2

=(m-

19

2

)2+

19×17

4

…（8分）
∵m，n∈N^*
∴當m=9或10時，即m=10，n=9或m=9，n=10時，x²項的系數取得最小值，最小值為81…（12分）