Question

已知f（x）=（x²+1）（x+a）
（1）當x∈（0，+∞）時，函數y=f（x）的圖象上任意一點的切線斜率恒大于1，求a的取值范圍．
（2）若y=f（x）在x∈（0，+∞）上有極值點，求a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）問題等價于f′（x）＞1在x∈（0，+∞）上恒成立，進而轉化為函數的最值問題解決；
（2）函數f（x）在x∈（0，+∞）上有極值點，即y=f′（x）在（0，+∞）上有零點，且零點兩側異號，由f′（0）=1＞0知：f′（x）在（0，+∞）上必有兩個零點，由此得一不等式組，解出即可．

解答：解：（1）x∈（0，+∞）時，函數y=f（x）的圖象上任意一點的切線斜率恒大于1，
等價于f′（x）＞1在x∈（0，+∞）上恒成立，即3x²+2ax+1＞1，也即3x+2a＞0在x∈（0，+∞）上恒成立，
所以3×0+2a≥0，解得a≥0，
故實數a 的取值范圍為[0，+∞）．
（2）f′（x）=3x²+2ax+1，易知f′（0）=1＞0，
要使f（x）在x∈（0，+∞）上有極值點，只需y=f′（x）在（0，+∞）上有兩個零點即可，
所以有

- 1 3 a＞0 △=4a2-4×3＞0

，解得a＜-

3

．
故a的取值范圍為：（-∞，-

3

）．

點評：本題考查導數的幾何意義及利用導數研究函數的極值，考查學生運用所學知識分析問題解決問題的轉化能力，屬中檔題