Question

已知f（x）=xlnx
（1）求函數f（x）的單調區間；
（2）求函數f（x）在[t，t+2]（t＞0）上的最小值．

Answer 1

分析：（1）求出函數的定義域，求出導數f′（x），在定義域內解不等式f′（x）＜0，f′（x）＞0即得單調區間；
（2）由（1）可知x=

1

e

為f（x）的極值點，按照極值點在區間[t，t+2]的右側、內部、左側三種情況進行討論，由函數的單調性即可求得其最小值；

解答：解：（1）f（x）的定義域為（0，+∞），f′（x）=lnx+1，
令f′（x）＜0，解得0＜x＜

1

e

，令f′（x）＞0，解得x＞

1

e

，
所以f（x）的單調減區間為（0，

1

e

），單調增區間為（

1

e

，+∞）；
（2）由（1）知f（x）的單調減區間為（0，

1

e

），單調增區間為（

1

e

，+∞），
則（ⅰ）當0＜t＜t+2＜

1

e

時，t無解；
（ⅱ）當0＜t＜

1

e

＜t+2，即0＜t＜

1

e

時，
f（x）在[t，

1

e

]上遞減，在[

1

e

，t+2]上遞增，
所以f（x）_min=f（

1

e

）=-

1

e

；
（ⅲ）當

1

e

≤t＜t+2，即t≥

1

e

時，f（x）在[t，t+2]上單調遞增，
所以f（x）_min=f（t）=tlnt，
所以f(x)min=

- 1 e ，0＜t＜ 1 e tlnt，t≥ 1 e

．

點評：本題考查利用導數研究函數的單調性、求函數在閉區間上的最值，考查分類討論思想，屬中檔題．