Question

（2013•營口二模）考察下列式子：

1=0+1， 2+3+4=1+8， 5+6+7+8+9=8+27， 10+11+12+13+14+15+16=27+64，

…；請你做出一般性的猜想，并且證明你猜想的結論．

Answer 1

分析：由圖表可猜想：第n行的連續的2n-1個數的和為：（（n-1）²+1）+（（n-1）²+2）+…+（（n-1）²+2n-1）=（n-1）³+n³．

解答：解：∵等式的左邊第一行一個數是1，為1²；第二行三個數，為2，3，4，最后一個數是2²；第三行五個數，為5，6，7，8，9，最后一個數是3²，…
∴可猜想：第n-1行左端最后一個數是（n-1）²，右端為：（n-2³+（n-1）³，
∴第n行左端第一個數是（n-1）²+1，有連續的2n-1個數相加，等式右端為：（n-1）³+n³，
即：（（n-1）²+1）+（（n-1）²+2）+…+（（n-1）²+2n-1）=（n-1）³+n³．
證明：①當n=1時，左端=1=右端，等式成立；
②假設當n=k時等式成立，即（（k-1）²+1）+（（k-1）²+2）+…+（（k-1）²+2k-1）=（k-1）³+k³，
則當n=k+1時，
（[（k+1）-1]²+1）+（[（k+1）-1]²+2）+…+（[（k+1）-1]²+2k-1）+（[（k+1）-1]²+2k）+（[（k+1）-1]²+2k+1）
=[（（k-1）²+1）+2（k-1）+1]+[（（k-1）²+2）+2（k-1）+1]+…+[（（k-1）²+2k-1）+2（k-1）+1]+（[（k+1）-1]²+2k）+（[（k+1）-1]²+2k+1）
=（（k-1）²+1）+（（k-1）²+2）+…+（（k-1）²+2k-1）+[2（k-1）+1]（2k-1）+（[（k+1）-1]²+2k）+（[（k+1）-1]²+2k+1）
=（k-1）³+k³+（2k-1）（2k-1）+k²+2k+k²+2k+1
=k³+[（k-1）³+6k²-4k+4k+2]
=k³+（k³-3k²+3k-1+6k²-4k+4k+2）
=k³+（k³+3k²+3k+1）
=k³+（k+1）³
=[（k+1）-1]³+（k+1）³．
即n=k+1時，等式也成立．
綜合①②可知，對任意n∈N^*，（（n-1）²+1）+（（n-1）²+2）+…+（（n-1）²+2n-1）=（n-1）³+n³成立．

點評：本題考查數學歸納法，考查觀察、猜想能力及論證推理能力，猜想出結論是關鍵，屬于難題．