Question

（2013•營口二模）若函數f（x）=x³-3x+m有三個不同的零點，則實數m的取值范圍是（　　）

A．（1，+∞）

B．（-∞，-1）

C．[-2，2]

D．（-2，2）

Answer 1

分析：已知條件轉化為函數有兩個極值點，并且極小值小于0，極大值大于0，求解即可．

解答：解：由函數f（x）=x³-3x+m有三個不同的零點，
則函數f（x）有兩個極值點，極小值小于0，極大值大于0．
由f′（x）=3x²-3=3（x+1）（x-1）=0，解得x₁=1，x₂=-1，
所以函數f（x）的兩個極值點為 x₁=1，x₂=-1．
由于x∈（-∞，-1）時，f′（x）＞0； x∈（-1，1）時，f′（x）＜0； x∈（1，+∞）時，f′（x）＞0，
∴函數的極小值f（1）=m-2和極大值f（-1）=m+2．
因為函數f（x）=x³-3x+m有三個不同的零點，
所以

m+2＞0 m-2＜0

，解之得-2＜m＜2．
故選D．

點評：本題是中檔題，考查函數的導數與函數的極值的關系，考查轉化思想和計算能力．