Question

已知函數f（x）對任意x，y∈R，滿足條件f（x）+f（y）=2+f（x+y），且f（3）=5，
（1）求f（1）+f（-1）的值；
（2）若f（x）為R上的增函數，證明：存在唯一的實數，使得對任意x∈（0，1），都有f（x²+2t²x）＜3成立．

Answer 1

分析：（1）由f（3）=f（2+1）=f（2）+f（1）-2=[f（1）+f（1）-2]+f（1）-2=3f（1）-4=5解得f（1）=3．f（2）=4．再由f（2）=f[3+（-1）]=f（3）+f（-1）-2=5+f（-1）-2=4．解得f（-1）=1．由此能求出f（1）+f（-1）．
（2）f（x）為R上的增函數，且對任意x∈（0，1），都有f（x²+2t²x）＜3=f（1），等價于對任意x∈（0，1），都有x²+2t²x＜1，構造函數y=x²+2t²x，利用導數能夠進行證明．

解答：（1）解：∵f（x）對任意x，y∈R，滿足條件f（x）+f（y）=2+f（x+y），且f（3）=5，
∴f（3）=f（2+1）=f（2）+f（1）-2=[f（1）+f（1）-2]+f（1）-2=3f（1）-4=5
解得f（1）=3．
∵f（3）=f（2+1）=f（2）+f（1）-2=f（2）+3-2=5，
∴f（2）=4．
∵f（2）=f[3+（-1）]=f（3）+f（-1）-2=5+f（-1）-2=4．
∴f（-1）=1．
∴f（1）+f（-1）=4．
（2）證明：∵f（x）為R上的增函數，且對任意x∈（0，1），都有f（x²+2t²x）＜3=f（1），
∴對任意x∈（0，1），都有x²+2t²x＜1，
設y=x²+2t²x，
則y′=2x+2t²，
∵x∈（0，1），∴y′=2x+2t²＞0，
∴y=x²+2t²x在（0，1）內是增函數，
∴y=x²+2t²x的值域為（0，1+2t²），
∵對任意x∈（0，1），都有x²+2t²x＜1，
∴1+2t²≤1，解得t=0．
∴存在唯一的實數t=0，使得對任意x∈（0，1），都有f（x²+2t²x）＜3成立．

點評：本題考查抽象函數及其應用，以及利用函數單調性的定義判斷函數的單調性，并根據函數的單調性解函數值不等式，體現了轉化的思想，在轉化過程中一定注意函數的定義域．解決抽象函數的問題一般應用賦值法．