Question

（2012•海淀區一模）已知函數f（x）=

1，x∈Q 0，x∈CRQ

，則f（f（x））=

1

下面三個命題中，所有真命題的序號是

①②③

．
①函數f（x）是偶函數；
②任取一個不為零的有理數T，f（x+T）=f（x）對x∈R恒成立；
③存在三個點A（x₁，f（x₁）），B（x₂，f（x₂）），C（x₃，f（x₃）），使得△ABC為等邊三角形．

Answer 1

分析：根據函數的對應法則，可得不管x是有理數還是無理數，均有f（f（x））=1．根據函數奇偶性的定義，可得f（x）是偶函數，①正確；根據函數的表達式，結合有理數和無理數的性質，得②正確；取x₁=-

3

3

，x₂=0，x₃=

3

3

，可得A（

3

3

，0）、B（0，1）、C（-

3

3

，0）三點恰好構成等邊三角形，得③正確．

解答：解：∵當x為有理數時，f（x）=1；當x為無理數時，f（x）=0
∴當x為有理數時，ff（（x））=f（1）=1；當x為無理數時，ff（（x））=f（0）=1
即不管x是有理數還是無理數，均有f（f（x））=1
接下來判斷三個命題的真假
對于①，因為有理數的相反數還是有理數，無理數的相反數還是無理數，
所以對任意x∈R，都有f（-x）=-f（x），故①正確；
對于②，若x是有理數，則x+T也是有理數； 若x是無理數，則x+T也是無理數
∴根據函數的表達式，任取一個不為零的有理數T，f（x+T）=f（x）對x∈R恒成立，故②正確；
對于③，取x₁=-

3

3

，x₂=0，x₃=

3

3

，可得f（x₁）=0，f（x₂）=1，f（x₃）=0
∴A（

3

3

，0），B（0，1），C（-

3

3

，0），恰好△ABC為等邊三角形，故③正確．
故答案為：1     ①②③

點評：本題給出特殊函數表達式，求函數的值并討論它的奇偶性，著重考查了有理數、無理數的性質和函數的奇偶性等知識，屬于基礎題．