Question

已知函數f（x）=

ex

ex+1

．
（Ⅰ）證明函數y=f（x）的圖象關于點（0，

1

2

）對稱；
（Ⅱ）設y=f-1(x)為y=f(x)的反函數，令g(x)=f-1(

x+1

x+2

)，是否存在實數b，使得任給a∈[

1

4

，

1

3

]，對任意x∈(0，+∞)．不等式g(x)＞x-ax2+b恒成立？若存在，求b的取值范圍；若不存在，說明理由．

Answer 1

分析：（Ⅰ）在y=f（x）的圖象上任取一點P（x，y），它關于點（0，

1

2

）對稱的點為Q（-x，1-y），只需Q在y=f（x）圖象上．
（Ⅱ）先求反函數，可得函數g（x），再構建函數F（x）=g（x）-x+ax²，證明函數在(0，

1

2a

-1)上為減函數，在(

1

2a

-1，+∞)上為增函數，從而由有F(x)≥F(

1

2a

-1)，求出右邊函數的最小值即可的結論．

解答：解：（Ⅰ）在y=f（x）的圖象上任取一點P（x，y），它關于點（0，

1

2

）對稱的點為Q（-x，1-y）
由y=

ex

ex+1

及(1-y)-

e-x

e-x+1

=1-

ex

ex+1

-

1

ex+1

=0
立知點Q在y=f（x）圖象上．從而由P的任意性可知y=f（x）的圖象關于點（0，

1

2

）對稱．
（Ⅱ）f-1(x)=ln

x

1-x

(0＜x＜1)．故g（x）=ln（x+1）（x＞-1）
構造函數F(x)=ln(1+x)-x+ax2．F′(x)=

2ax(x+1- 1 2a )

x+1

又x＞0，a∈[

1

4

，

1

3

]
若F′(x)＜0，則x∈(0，

1

2a

-1)．F(x)在(0，

1

2a

-1)上為減函數．
若F′(x)＞0，則x∈(

1

2a

-1，+∞)．F(x)在(

1

2a

-1，+∞)上為增函數．
故當x＞0時，F(x)≥F(

1

2a

-1)=ln

1

2a

-

1

4a

+a
記h(a)=ln

1

2a

-

1

4a

+aa∈[

1

4

，

1

3

]
注意到h′(a)=

1

4

(

1

a

-2)2＞0．故h(a)在a∈[

1

4

，

1

3

]為增函數
故h(a)≥h(

1

4

)=ln2-

3

4

．要使F（x）＞b恒成立，只要F(x)≥h(a)≥h(

1

4

)＞b即可
故b的取值范圍是(-∞，ln2-

3

4

)

點評：本題以具體函數為載體，考查函數的對稱性，考查函數恒成立問題，有一定的難度．