Question

【題目】已知橢圓的左．右焦點為，離心率為.直線與軸，軸分別交于點，是直線與橢圓的一個公共點，是點關于直線的對稱點，設.

（1）證明：；

（2）若，的周長為；寫出橢圓的方程；

（3）確定的值，使得是等腰三角形.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）；（3）當時，是等腰三角形

【解析】

（1）分別求出坐標，利用向量共線的坐標運算可構造關于的方程，整理即可證得結果；（2）利用（1）的結論求得，根據焦點三角形周長為可得到關于方程，求得后，根據求得，進而得到橢圓方程；（3）根據可知若為等腰三角形，則需，即點到直線距離，利用點到直線距離公式構造方程可求得，根據（1）的結論得到結果.

（1）為與軸的交點 ，

由得：，即

，

，整理可得：

（2）由（1）得：，解得：，即

周長為，即 ，

橢圓的方程為：

（3） 為鈍角

若是等腰三角形，則

設到直線距離為，則需

，即，解得：

由（1）得：

當時，是等腰三角形