Question

【題目】在數列中,若是正整數,且, ,則稱為“D-數列”.

(1)舉出一個前六項均不為零的“D-數列”(只要求依次寫出該數列的前六項);

(2)若“D-數列”中,,,數列滿足,,分別判斷當時,與的極限是否存在?如果存在,求出其極限值(若不存在不需要交代理由);

(3)證明:任何“D-數列”中總含有無窮多個為零的項.

Answer 1

【答案】（1）（2）的極限不存在.的極限存在.極限值為6 （3）見解析

【解析】

（1）舉出一個例子即可

（2）的極限不存在.的極限存在，計算得到，得到答案.

（3）假設中只有有限個零, 則存在, 使得當時, ，當時, 記，計算得到形成了一列嚴格遞減的無窮正整數數列，不能成立，得到證明.

(1)

(2)的極限不存在.的極限存在.

事實上, 因為, , , 當時, .因此當時, .所以.

(3) 反證法, 假設中只有有限個零, 則存在, 使得當時, .

當時, 記

于是, , 故,

而, 從而.

這樣形成了一列嚴格遞減的無窮正整數數列, 這不可能,故假設不成立, 中必有無限個.