Question

如圖，四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁的底面是正方形，且側棱和底面垂直．
（Ⅰ）求證：BD⊥平面ACC₁A₁；
（Ⅱ）當ABCD-A₁B₁C₁D₁為正方體時，求二面角C₁-BD-C的正切值及及異面直線BC₁與AC所成角的大小．

Answer 1

考點：二面角的平面角及求法,平面的基本性質及推論,直線與平面垂直的判定

專題：空間角

分析：（Ⅰ）由已知條件推導出BD⊥CC₁，BD⊥AC，由此能證明BD⊥平面ACC₁A₁．
（II）設BD與AC相交于O，連接C₁O，由已知條件推導出∠C₁OC是二面角C₁-BD-C的平面角，由此能求出二面角C₁-BD-C的正切值．連接A₁B，∠A₁C₁B是異面直線BC₁與AC所成角，由此能求出異面直線BC₁與AC所成角的大小．

解答： （Ⅰ）證明：∵ABCD-A₁B₁C₁D₁是正四棱柱，
∴CC₁⊥平面ABCD，∴BD⊥CC₁，
∵ABCD是正方形，∴BD⊥AC
又∵AC，CC₁?平面ACC₁A₁，且AC∩CC₁=C，
∴BD⊥平面ACC₁A₁．
（II）解：設BD與AC相交于O，連接C₁O．
∵CC₁⊥平面ABCD，BD⊥AC，∴BD⊥C₁O，
∴∠C₁OC是二面角C₁-BD-C的平面角，
∴tan∠C₁OC=

CC1

OC

=

2

．
連接A₁B，∵A₁C₁∥AC，
∴∠A₁C₁B是異面直線BC₁與AC所成角．
∵三角形A₁C₁B是正三角形，∴∠A₁C₁B=60°．
∴二面角C₁-BD-C的正切值為

2

，
異面直線BC₁與AC所成角的大小為60°．

點評：本題考查直線與平面垂直的證明，考查二面角的正切值的求法，考查異面直線所成角的大小的求法，解題時要認真審題，注意空間思維能力的培養．