Question

在直角坐標系xoy中，點P到兩點F₁（-

3

，0），F₂（

3

，0）的距離之和等于4，設P點的軌跡為曲線C，過點M（1，0）的直線l與曲線C交于A、B兩點．
（1）求曲線C的方程；
（2）若拋物線：y²=2px（p＞0）與曲線C交于不同兩點P、Q，且

PF2

=

F2Q

，求拋物線的通徑；
（3）求

OA

•

OB

的取值范圍．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：綜合題,圓錐曲線中的最值與范圍問題

分析：（1）易知曲線C為橢圓，由定義可知c=

3

，a=2，從而有b²=1；
（2）由

PF2

=

F2Q

且橢圓和拋物線都關于x軸對稱，知PQ⊥x軸，可得xP=xQ=

3

，代入橢圓的方程可求點P、Q坐標，代入拋物線方程可求p值；
（3）分情況討論：斜率為0及斜率不存在時易求

OA

•

OB

的值；斜率存在且不為0時，設l：x=my+1，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），聯立

x=my+1 x2+4y2=4

，得（m²+4）y²+2my-3=0，利用韋達定理及向量數量積運算可表示

OA

•

OB

為m的表達式，利用函數性質可求范圍；

解答： 解：（1）由題意知曲線C為以F₁（-

3

，0），F₂（

3

，0）為焦點的橢圓，
且c=

3

，a=2，∴b²=1，
∴曲線C的方程為：

x2

4

+y2=1；
（2）∵

PF2

=

F2Q

且橢圓和拋物線都關于x軸對稱，∴PQ⊥x軸，
則xP=xQ=

3

，代入橢圓的方程得：P(

3

，

1

2

)，Q(

3

，-

1

2

)，
把點P坐標代入拋物線方程得：p=

3

24

，
∴拋物線C₂的通徑為

3

12

；
（3）1⁰當l的斜率為0時，則

OA

•

OB

=-4；
2⁰當l的斜率存在且不為0時，設l：x=my+1，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
聯立

x=my+1 x2+4y2=4

，得（m²+4）y²+2my-3=0，
∴y1+y2=

-2m

m2+4

，y1y2=

-3

m2+4

，

OA

•

OB

=x1x2+y1y2
=(my1+1)(my2+1)+y1y2=m2y1y2+m(y1+y2)+1+y1y2
=(m2+1)y1y2+m(y1+y2)+1=(m2+1)

-3

m2+4

+

-2m2

m2+4

+1
=

-3m2-3-2m2+m2+4

m2+4

=

-4m2+1

m2+4

=

-4(m2+4)+17

m2+4

=-4+

17

m2+4

∈（-4，

1

4

）；
3⁰當l的斜率不存在時，直線方程為x=1，此時A點、B點坐標為(1，

3

2

)，(1，-

3

2

)，
故

OA

•

OB

=1×1+

3

2

×(-

3

2

)=

1

4

；
綜上可知

OA

•

OB

的取值范圍為[-4，

1

4

]．

點評：本題考查橢圓的定義、方程、性質，考查直線與橢圓的位置關系、向量數量積運算，考查運算求解能力，熟練運用韋達定理是及解決相關問題的基礎．