Question

【題目】如圖，棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，底面ABCD是平行四邊形，側棱AA1⊥底面ABCD，AB=1，AC= ，BC=BB1=2．
（Ⅰ）求證：AC⊥平面ABB1A1；
（Ⅱ）求二面角A﹣C1D﹣C的平面角的余弦值．

Answer 1

【答案】證明：（Ⅰ）∵在底面ABCD中，AB=1，AC= ，BC=2， ∴AB2+AC2=BC2 ， ∴AB⊥AC，
∵側棱AA1⊥底面ABCD，∴AA1⊥AC，
又∵AA1∩AB=A，AA1 ， AB平面ABB1A1 ，
∴AC⊥平面ABB1A1 ．
（Ⅱ）解：過點C作CP⊥C1D于P，連接AP，
由（Ⅰ）可知，AC⊥平面DCC1D1 ，
∠CPA是二面角A﹣C1D﹣C的平面角，
∵CC1=BB1=2，CD=AB=1，∴CP= = = ，
∴tan = ，∴cos ，
∴二面角A﹣C1D﹣C的平面角的余弦值為 ．

【解析】（Ⅰ）推導出AB⊥AC，AA1⊥AC，由此能證明AC⊥平面ABB1A1 ． （Ⅱ）過點C作CP⊥C1D于P，連接AP，則AC⊥平面DCC1D1 ， 從而∠CPA是二面角A﹣C1D﹣C的平面角，由此能求出二面角A﹣C1D﹣C的平面角的余弦值．
【考點精析】認真審題，首先需要了解直線與平面垂直的判定(一條直線與一個平面內的兩條相交直線都垂直，則該直線與此平面垂直；注意點：a)定理中的“兩條相交直線”這一條件不可忽視；b)定理體現了“直線與平面垂直”與“直線與直線垂直”互相轉化的數學思想)．