Question

【題目】已知橢圓的離心率為，過其右焦點F且與x軸垂直的直線交橢圓C于P，Q兩點，橢圓C的右頂點為R，且滿足.

(1)求橢圓C的方程；

(2)若斜率為k(其中)的直線l過點F，且與橢圓交于點A，B，弦AB的中點為M，直線OM與橢圓交于點C，D，求四邊形ACBD面積的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1） ；（2）(6，) .

【解析】

(1)根據離心率及，結合橢圓的定義即可求得橢圓的方程。

(2)設出直線方程，聯立橢圓方程化簡即可得關于x的一元二次方程，根據韋達定理即可得AB的表達式，然后求得點到直線的距離之和為，進而表達出四邊形ACBD面積，即可求得S的取值范圍。

(1)由得

=2(a－c)=2

∴，

∴橢圓。

(2)由消y得

∴Δ=122(k2+1)恒正，，

∴=，

M(，－) ∴kOM=－

(此處也可以用點差法:由得

∴，∴kOM==－)

由得，即為C、D兩點的坐標，

∴點到直線的距離之和為

=2，

∴S=××2

= (k≠0)，

∴S的取值范圍=(6，).