Question

【題目】已知橢圓Γ： + =1（a＞b＞0）的右焦點與短軸兩端點構成一個面積為2的等腰直角三角形，O為坐標原點：

（1）求橢圓Г的方程：
（2）設點A在橢圓Г上，點B在直線y=2上，且OA⊥OB，求證： + 為定值：
（3）設點C在Γ上運動，OC⊥OD，且點O到直線CD距離為常數d（0＜d＜2），求動點D的軌跡方程：

Answer 1

【答案】
（1）解：∵橢圓Γ： + =1（a＞b＞0）的右焦點與短軸兩端點構成一個面積為2的等腰直角三角形，O為坐標原點，

∴b=c= ，∴ =2，

∴橢圓Г的方程為 =1．

（2）證明：設A（x0，y0），則OB的方程x0x+y0y=0，

由y=2，得B（﹣ ，2），

∴ + = + = = = ，

∴ + 為定值 ．

（3）解：設C（x0，y0），D（x，y），由OC⊥OD，得x0x+y0y=0，①

又C點在橢圓上，得： ，②

聯立①②，得： ， ，③

由OC⊥OD，得OCOD=CDd，

∴OC2OD2=（OC2+OD2）d2，

∴ = +

= +

= ，

化簡，得D點軌跡方程為：（ ）x2+（ ）y2=1．

【解析】（1）由橢圓的右焦點與短軸兩端點構成一個面積為2的等腰直角三角形，求出a，b，由此能求出橢圓Г的方程．（2）設A（x0 ， y0），則OB的方程x0x+y0y=0，由y=2，得B（﹣ ，2），由此能證明 + 為定值 ．（3）設C（x0 ， y0），D（x，y），由OC⊥OD，得x0x+y0y=0，又C點在橢圓上，得： ，從而 ， ，由此能求出D點軌跡方程．