Question

【題目】已知函數f（x）=x﹣ 存在單調遞減區間，且y=f（x）的圖象在x=0處的切線l與曲線y=ex相切，符合情況的切線l（ ）
A.有3條
B.有2條
C.有1條
D.不存在

Answer 1

【答案】D
【解析】解：函數f（x）=x﹣ 的導數為f′（x）=1﹣ ，
依題意可知，f′（x）＜0在（﹣∞，+∞）有解，
①a＜0時，f′（x）＜0 在（﹣∞，+∞）無解，不符合題意；
②a＞0時，f′（x）＞0即a＞ ，lna＞ ，x＜alna符合題意，則a＞0．
易知，曲線y=f（x）在x=0處的切線l的方程為y=（1﹣ ）x﹣1．
假設l與曲線y=ex相切，設切點為（x0 ， y0），
即有 =1﹣ =（1﹣ ）x0﹣1，
消去a得 ，設h（x）=exx﹣ex﹣1，
則h′（x）=exx，令h′（x）＞0，則x＞0，
所以h（x）在（﹣∞，0）上單調遞減，在（0，+∞）上單調遞增，
當x→﹣∞，h（x）→﹣1，x→+∞，h（x）→+∞，
所以h（x）在（0，+∞）有唯一解，則 ，
而a＞0時， ，與 矛盾，所以不存在．
故選：D．