Question

【題目】【2017重慶二診】已知函數(shù)，．

（1）分別求函數(shù)與在區(qū)間上的極值；

（2）求證：對(duì)任意， ．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）在上有極小值，無極大值； 在上有極大值，無極小值；（Ⅱ）見解析．

【解析】（Ⅰ）由題意，利用導(dǎo)數(shù)進(jìn)行求解，首先求出函數(shù)極值點(diǎn)，再判斷極值點(diǎn)兩側(cè)的單調(diào)性，從而得出是否為極大值點(diǎn)，還是極小值點(diǎn)，問題即可得解；（Ⅱ）由（Ⅰ）知，可將分為和兩段進(jìn)行證明，在區(qū)間上可比較兩個(gè)函數(shù)的極小值與極大值即，在區(qū)間上可考慮將兩函數(shù)作差構(gòu)造新函數(shù)，再通過判斷新函數(shù)的單調(diào)性和最值，從而問題可得證．

試題解析：（Ⅰ） ， ，

故在和上遞減，在上遞增，

在上有極小值，無極大值； ， ，

故在上遞增，在上遞減，

在上有極大值，無極小值；

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，當(dāng)時(shí)， ， ，故；

當(dāng)時(shí)， ，令，則，

故在上遞增，在上遞減， ， ；

綜上，對(duì)任意， ．