Question

（本題滿分16分）數列的前項和記為，且滿足．
（1）求數列的通項公式；
（2）求和；
（3）設有項的數列是連續的正整數數列，并且滿足：
．
問數列最多有幾項？并求這些項的和．

Answer 1

（1）（2）（3）數列最多有9項，和為63.

試題分析：（1）由得，
相減得，即．
又，得，
數列是以1為首項2為公比的等比數列，
．                                                          ……5分
（2）由（1）知．


.                                            ……10分
（3）由已知得．
又是連續的正整數數列，
．上式化為．                           ……12分
又，消得．
，由于，
，時，的最大值為9.
此時數列的所有項的和為.                        ……16分
點評：由數列的遞推公式求數列的通項公式有累加、累乘和構造新數列法，求數列的前n項和有公式法、分組法、錯位相減法和裂項相消法等.