Question

在△ABC中，若A=

C

2

，求證：

1

3

＜

c-a

b

＜

1

2

．

Answer 1

分析：由正弦定理得

c-a

b

=

sinC-sinA

sinB

，結合A+B+C=180°，求出

c-a

b

=

1

2cosA+1

，利用已知推出A的范圍，證明即可．

解答：解：由正弦定理得

c-a

b

=

sinC-sinA

sinB

因為A+B+C=180°，所以sinB=sin（A+C）
代入條件C=2A

c-a

b

=

sin2A-sinA

sin3A

sin2A=2sinAcosA，sin3A=3sinA-4sin³A，代入并約去sinA

c-a

b

=

2cosA-1

3-4sin2A

=

2cosA-1

4cos2A-1

=

1

2cosA+1

因為A+C＜180°，所以A+2A＜180°，A＜60°
所以

1

2

＜cosA＜1，2＜2cosA+1＜3
所以

1

3

＜

1

2cosA+1

＜

1

2

即

c-a

b

的取值范圍是

1

3

＜

c-a

b

＜

1

2

，用區間表示為（

1

3

，

1

2

）

點評：本題考查同角三角函數基本關系的運用，正弦定理，三角形的內角和等知識，考查計算推理能力，注意三角形中角與邊的轉化，是解題的基本策略，本題是基礎題．