Question

（（本小題12分）如圖，在梯形中，，，四邊形為矩形，平面平面，.
（1）求證：平面；
（2）求二面角A-BF-C的平面角的余弦值；
（3）若點在線段上運動，設平面與平面所成二面角的平面角為，試求的取值范圍.

Answer 1

（1）證明：在梯形中， ∵ ,，
∠＝，∴     ∴
∴ ∴　⊥    
∵平面⊥平面,
平面∩平面,平面
∴ ⊥平面   
（2）取中點為，連結
∵ ,∴  ∴⊥ ∵　   ∴ ⊥ ∴ ∠=

∵ ⊥  ∴  ∴,
∴  

（3）由（2）知，①當與重合時，
②當與重合時，過,連結，則平面∩平面＝,∵ ⊥，又∵⊥∴ ⊥平面∴ ⊥平面

∴　∠＝ ∴　=,∴　=
③當與都不重合時，令
延長交的延長線于,連結
∴　在平面與平面的交線上
∵ 在平面與平面的交線上
∴ 平面∩平面＝
過C作CH⊥NB交NB于H ，連結AH，
由（I）知，⊥, 又∵AC⊥CN,∴　AC⊥平面NCB
∴ AC⊥NB,　又∵　CH⊥NB，AC∩CH=C，∴　NB⊥平面ACH ∴AH⊥NB    ∴ ∠AHC=
在中，可求得NC＝，從而，在中，可求得CH＝
∵　∠ACH＝   ∴　　AH＝
∴   ∵  ∴ ， 綜上得。

略