Question

【題目】已知橢圓E：＋＝1(a>b>0)的離心率為，焦點到相應準線的距離為.

(1) 求橢圓E的標準方程；

(2) 已知P(t，0)為橢圓E外一動點，過點P分別作直線l1和l2，直線l1和l2分別交橢圓E于點A，B和點C，D，且l1和l2的斜率分別為定值k1和k2，求證：為定值．

Answer 1

【答案】(1)＋y2＝1；(2)證明見解析

【解析】

（1）題中已知條件為＝，則－c＝，結合可求得橢圓標準方程；

（2）設A(x1，y1)，B(x2，y2)，設直線l1的方程為y＝k1(x－t)，代入橢圓E的方程中，并化簡，應用韋達定理得，代入化簡，同理得，作比值可得定值．

(1)設橢圓的半焦距為c，由已知得，

＝，則－c＝，c2＝a2－b2，

解得a＝2，b＝1，c＝，

所以橢圓E的標準方程是＋y2＝1.

(2) 由題意，設直線l1的方程為y＝k1(x－t)，代入橢圓E的方程中，并化簡得

(1＋4)x2－8tx＋4t2－4＝0，

設A(x1，y1)，B(x2，y2)．

則x1＋x2＝，x1x2＝，

因為PA＝|x1－t|，PB＝|x2－t|，

所以PA·PB＝(1＋)|x1－t||x2－t|＝(1＋)|t2－(x1＋x2)t＋x1x2|

＝(1＋)|t2－＋|＝，

同理，PC·PD＝，

所以＝為定值．