Question

如圖，在四棱錐中，底面是邊長為的菱形，,底面, ,為的中點，為的中點.

（Ⅰ）證明：直線平面；
（Ⅱ）求異面直線與所成角的大小；

Answer 1

（Ⅰ）詳見解析；（Ⅱ）異面直線與所成角為．

試題分析：（Ⅰ）證明：直線平面，證明線面平行，首先證明線線平行，可用三角形的中位線平行，也可用平行四邊形的對邊平行，本題雖有中點，但沒直接的三角形，可考慮用平行四邊形的對邊平行，可取ＯＤ的中點Ｇ，連結ＣＧ，ＭＧ，證明四邊形為平行四邊形即可，也可取中點，連接，，利用面面平行則線面平行，證平面平面即可．也可利用向量法，作于點P,如圖,分別以，所在直線為軸建立坐標系，利用向量與平面的法向量垂直，即數量積等于零；（Ⅱ）求異面直線與所成角的大小，分別寫出異面直線與對應向量的坐標，由向量的夾角公式即可求出．
試題解析：方法一（綜合法）
（Ⅰ）取中點，連接，　　　
又   　　　　 
（Ⅱ）
為異面直線與所成的角（或其補角），
作連接 ， ，,,
， ,  
所以 與所成角的大小為 
方法二(向量法)
作于點P,如圖,分別以，所在直線為軸建立坐標系.
,
,

(Ⅰ)，
設平面的法向量為,則 
即 ， 取,解得
..
(Ⅱ)設與所成的角為, 
，   , 即與所成角的大小為.