Question

【題目】如圖，圓， 是圓M內一個定點，P是圓上任意一點，線段PN的垂直平分線l和半徑MP相交于點Q，當點P在圓M上運動時，點Q的軌跡為曲線E

（1）求曲線E的方程；

（2）過點D(0，3)作直線m與曲線E交于A，B兩點，點C滿足 (O為原點)，求四邊形OACB面積的最大值，并求此時直線m的方程；

（3）已知拋物線上，是否存在直線與曲線E交于G，H，使得G，H的中點F落在直線y=2x上，并且與拋物線相切，若直線存在，求出直線的方程，若不存在，說明理由.

Answer 1

【答案】（1）（2）2，（3）存在，x+8y﹣8=0或x=0

【解析】

（1）由已知可得|QN|=|QP|，進而有|QM|+|QP|=4>|MN|，根據橢圓定義，即可求解；

（2）由，四邊形OACB為平行四邊形，設，，設直線斜率為（斜率不存在另討論），求出直線方程，與橢圓方程聯立，消元，求出的范圍，根據韋達定理得出，關系，進而將表示是為的目標函數，換元，利用基本不等式，即可求解；

（3）若直線斜率不存在，滿足條件，若斜率存在，設直線與曲線E的交點坐標為，應用點差法，結合G，H的中點F落在直線y=2x上，求出直線的斜率，設直線方程，與拋物線方程聯立，利用,求出直線方程，驗證直線與橢圓是否相交，即可求解.

（1）由題意可知，Q在PN的垂直平分線上，所以|QN|=|QP|，

又因為|QM|+|QP|=r=4，所以|QM|+|QP|=4>|MN|，

所以Q點的軌跡為橢圓，且2a=4即a=2，

由題意可知c=，所以b=1，

∴曲線E的方程為

（2）因為，所以四邊形OACB為平行四邊形，

當直線m的斜率不存在時，顯然不符合題意；

當直線m的斜率存在時，設直線 的方程為y=kx+3，

直線m與曲線E交于A(x1，y1)，B(x2，y2)兩點，

聯立方程組，消去y，

整理得(1+4k2)x2+24kx+32=0.由△=(24k)2﹣128(1+4k2)>0

得k2>2. x1+x2=﹣，x1x2=，

因為S△OAB=|OD||x1﹣x2|=|x1﹣x2|，

所以SOACB=2S△OAB=3|x1﹣x2|=3

=3=24，

令k2﹣2=t，則k2=t+2(由上式知t>0)，

所以SOANB=24=24≤24=2，

當且僅當t=，即k2=時取等號，∴當k=±時，

平行四邊形OACB的面積的最大值為2.此時直線的方程為y=±x+3

（3）若直線斜率存在，設直線與曲線E的交點坐標為，

滿足曲線E的方程，兩式作差可得，

G，H的中點F落在直線y=2x上，

則有代入可得，

直線方程可以設為與拋物線方程聯立，

得，消元可得方程，

直線與拋物線相切則有，所以，

則直線的方程為x+8y﹣8=0，與橢圓方程聯立:，

消元可得方程17y2﹣32y+15=0，△=322﹣4×17×15>0，

所以直線x+8y﹣8=0滿足題意.

若直線斜率不存在時，直線x=0滿足題意.

所以，綜上這樣的直線存在，方程是x+8y﹣8=0或x=0.