Question

【題目】四棱錐P﹣ABCD中平面PAD⊥平面ABCD，AB∥CD，AB⊥AD，M為AD中點，PA＝PD，AD＝AB＝2CD＝2．

（1）求證：平面PMB⊥平面PAC；

（2）求二面角A﹣PC﹣D的余弦值．

Answer 1

【答案】（1）證明見詳解；（2）

【解析】

（1）由直線垂直于，可得線面垂直，再由線面垂直推證面面垂直即可；

（2）以為坐標原點，建立空間直角坐標系，通過求解兩平面法向量的夾角，從而求得對應二面角的余弦值.

（1）證明：∵PA＝PD，M為AD中點，

∴PM⊥AD，

又平面PAD⊥平面ABCD，且平面PAD∩平面ABCD＝AD，

∴PM⊥平面ABCD，

又因為平面，

故.

由已知可得，tan，

∴∠ABM＝∠DAC，

又∵，

∴，

∴MB⊥AC，

又平面，

故可得平面，

又平面

∴平面PMB⊥平面PAC，即證.

（2）以M為坐標原點，分別以MD，MP為x軸與z軸，

建立空間直角坐標系，如下圖所示：

則A（﹣1,0,0），D（1,0,0），C（1,1,0），P（0,0,2）．

設平面PAC的一個法向量為．

．

由，可得，

令z1＝1，得；

設平面PDC的一個法向量，

由，可得，

取z2＝1，得．

設所求二面角為θ，又為銳二面角，

故.

二面角A﹣PC﹣D的余弦值為.