Question

已知函數和．其中．

   （Ⅰ）若函數與的圖像的一個公共點恰好在x軸上，求的值；

   （Ⅱ）若函數與圖像相交于不同的兩點A、B，O為坐標原點，試問：△OAB的面積S有沒有最值？如果有，求出最值及所對應的的值；如果沒有，請說明理由．

   （Ⅲ）若和是方程的兩根，且滿足，證明：當時，．

Answer 1

解：（Ⅰ）設函數圖像與x軸的交點坐標為（，0），

又∵點（，0）也在函數的圖像上，∴．

而，∴．

   （Ⅱ）依題意，，即，

       整理，得  ，①

       ∵，函數與圖像相交于不同的兩點A、B，

       ∴，即△==＝(3－1)(－－1)>0.

       ∴－1<<且.

       設A(，)，B(，)，且<，由①得，=1>0, .

       設點o到直線的距離為d，

       則，.

       ∴＝

       =.

       ∵－1<<且,∴當時，有最大值，無最小值.

   （Ⅲ）由題意可知．

       ,∴,∴當時，

       即．

       又,

       ∴<0, ∴,

       綜上可知，．