Question

（09年山東猜題卷）已知函數和．其中．

（Ⅰ）若函數與的圖像的一個公共點恰好在x軸上，求的值；

（Ⅱ）若函數與圖像相交于不同的兩點A、B，O為坐標原點，試問：△OAB的面積S有沒有最值？如果有，求出最值及所對應的的值；如果沒有，請說明理由．

（Ⅲ）若和是方程的兩根，且滿足，證明：當時，．

 

Answer 1

解析：（Ⅰ）設函數圖像與x軸的交點坐標為（，0），又∵點（，0）也在函數的圖像上，∴．

而，∴．（Ⅱ）依題意，，即，整理，得  ，①∵，函數與圖像相交于不同的兩點A、B，∴，即△==＝(3-1)(--1)>0.∴-1<<且.設A(，)，B(，)，且<，由①得，=1>0, .設點o到直線的距離為d，

則，.

∴＝=.

∵-1<<且,∴當時，有最大值，無最小值.（Ⅲ）由題意可知．,∴,∴當時，即．

又,

∴<0, ∴,綜上可知，．