Question

（2008•楊浦區(qū)二模）（文）已知向量

a

=(x2+1，-x)，

b

=(1，2

n2+1

) （n為正整數(shù)），函數(shù)f(x)=

a

• 

b

，設(shè)f（x）在（0，+∞）上取最小值時(shí)的自變量x取值為a_n．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）已知數(shù)列{b_n}，其中b_n=a_n+1²-a_n²，設(shè)S_n為數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和，求

lim

n→∞

Sn

C 2 n

；
（3）已知點(diǎn)列A₁（1，a₁²）、A₂（2，a₂²）、A₃（3，a₃²）、…、A_n（n，a_n²）、…，設(shè)過任意兩點(diǎn)A_i，A_j（i，j為正整數(shù)）的直線斜率為k_ij，當(dāng)i=2008，j=2010時(shí)，求直線A_iA_j的斜率．

Answer 1

分析：（1）先根據(jù)向量的數(shù)量積求出f（x）的解析式，再求出f（x）在（0，+∞）上取最小值時(shí)的自變量x即可得到數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）先求出數(shù)列{b_n}通項(xiàng)公式；進(jìn)而求出前n項(xiàng)和S_n，代入所求

lim

n→∞

Sn

C 2 n

整理即可得到結(jié)論；
（3）先根據(jù)條件得到A₂₀₀₈（2008，a₂₀₀₈²），A₂₀₁₀（2010，2010_n²），再代入斜率的計(jì)算公式即可得到結(jié)論．

解答：解：（1）f（x）=

a

•

b

= (x2+1，-x)• (1，2

n2+1

)=x²-2

n2+1

x+1（2分）
拋物線的頂點(diǎn)橫坐標(biāo)為x=

n2+1

＞0，
開口向上，在（0，+∞）上當(dāng)x=

n2+1

時(shí)函數(shù)取得最小值，所以an=

n2+1

；（4分）
（2）∵b_n=a_n+1²-a_n²=（n+1）²+1-（n²+1）=2n+1．
是首項(xiàng)為3，公差為2的等差數(shù)列，
所以：S_n=

n(3+2n+1)

2

=n²+2n；
∴

Sn

c 2 n

=

n2+2n

n(n-1) 2

=

2n+4

n-1

=

2+ 4 n

1- 1 n

．
∴

lim

n→∞

Sn

C 2 n

=2．
（3）∵A₂₀₀₈（2008，a₂₀₀₈²），A₂₀₁₀（2010，2010_n²），
∴k=

a20102-a20082

2010-2008

=

20102+1-(20082+1)

2010-2008

=4018．

點(diǎn)評(píng)：本題是對(duì)數(shù)列知識(shí)與函數(shù)知識(shí)的綜合考查．本題涉及到的知識(shí)比較多，有數(shù)列的極限，數(shù)列的求和，二次函數(shù)的最值等．考查計(jì)算能儀以及分析能力．