Question

（2008•楊浦區二模）（文）在平面直角坐標系xoy中，若在曲線C₁的方程F（x，y）=0中，以（λx，λy）（λ為正實數）代替（x，y）得到曲線C₂的方程F（λx，λy）=0，則稱曲線C₁、C₂關于原點“伸縮”，變換（x，y）→（λx，λy）稱為“伸縮變換”，λ稱為伸縮比．
（1）已知曲線C₁的方程為

x2

9

-

y2

4

=1，伸縮比λ=2，求C₁關于原點“伸縮變換”后所得曲線C₂的方程；

（2）已知拋物線C₁：y²=2x，經過伸縮變換后得拋物線C₂：y²=32x，求伸縮比λ．
（3）射線l的方程y=

2

2

x(x≥0)，如果橢圓C₁：

x2

16

+

y2

4

=1經“伸縮變換”后得到橢圓C₂，若射線l與橢圓C₁、C₂分別交于兩點A、B，且|AB|=

2

，求橢圓C₂的方程．

Answer 1

分析：（1）曲線C₁的方程為

x2

9

-

y2

4

=1，伸縮比λ=2，根據“伸縮變換”后所得曲線C₂的方程；
（2）拋物線C₁：y²=2x，經過伸縮變換后得拋物線C₂：λ²y²=λx，⇒y²=

1

λ

x對照方程得出λ即可；
（3）根據C₂、C₁關于原點“伸縮變換”，對C₁作變換（x，y）→（λx，λy）（λ＞0），解方程組結合弦長公式得出關于λ的方程，解得λ，最后寫出橢圓C₂的方程即得．

解答：解：（1）曲線C₁的方程為

x2

9

-

y2

4

=1，伸縮比λ=2，
∴C₁關于原點“伸縮變換”后所得曲線C₂的方程為：

4x2

9

-

4y2

4

=1，即

4x2

9

-

y2

1

=1；
（2）拋物線C₁：y²=2x，經過伸縮變換后得拋物線C₂：λ²y²=λx，⇒y²=

1

λ

x

1

λ

=32，⇒則伸縮比λ=

1

32

；
（3）∵C₂、C₁關于原點“伸縮變換”，對C₁作變換（x，y）→（λx，λy）（λ＞0），
得到C₂

λ2x2

16

+

λ2y2

4

=1，（12分）
解方程組

y= 2 2 x (x≥0) x2 16 + y2 4 =1

得點A的坐標為(

4 3

3

，

2 6

3

)（14分）
解方程組

y= 2 2 x (x≥0) λ2x2 16 + λ2y2 4 =1

得點B的坐標為(

4 3

3λ

，

2 6

3λ

)（15分）
|AB|=

( 4 3 3λ - 4 3 3 )2+( 2 6 3λ - 2 6 3 )2

=

2 2 |λ-1|

|λ|

=

2

，
化簡后得3λ²-8λ+4=0，解得λ1=2，λ2=

2

3

，
因此橢圓C₂的方程為

x2

4

+y2=1或

x2

36

+

y2

9

=1．（18分）（漏寫一個方程扣2分）

點評：本小題主要考查橢圓的標準方程、橢圓的簡單性質等基礎知識，考查運算求解能力，考查數形結合思想、方程思想．屬于基礎題．