Question

【題目】定義函數f（x）＝（1﹣x2）（x2+bx+c）．

（1）如果f（x）的圖象關于x＝2對稱，求2b+c的值；

（2）若x∈[﹣1，1]，記|f（x）|的最大值為M（b，c），當b、c變化時，求M（b，c）的最小值．

Answer 1

【答案】（1）-1（2）．

【解析】

(1)由的圖象關于直線對稱,則將的圖象向左移動個單位,得到函數為偶函數,化簡,由偶函數性質即可得出結論.

(2) 由任意記的最大值為

取,得，

化簡可得,只需要,即可求出的最小值.

．

（1）f（x）的圖象關于直線x＝2對稱，則將f（x）的圖象向左移動2個單位，得到函數，

g（x）＝f（x+2）＝[1﹣（x+2）2][（x+2）2+b（x+2）+c]＝﹣x4﹣（8+b）x3﹣（19+4b）x2﹣（28+11b+4c）x﹣（12+6b+3c）為偶函數，

∴解得，

∴2b+c＝﹣1；

（2）對任意的x∈[﹣1，1]，|f（x）|≤M（b，c），

取x＝±λ得，

同理取x＝0得，|c|≤M（b，c），

由上述三式得：2|（1﹣λ2）（λ2+c）|≤2M（b，c），

∴|（1﹣λ2）（λ2+c）|≤M（b，c），

∴|（1﹣λ2）λ2|≤|（1﹣λ2）（λ2+c）|+|（1﹣λ2）|c||≤（2﹣λ2）M（b，c），

因此，M（b，c）（當且僅當λ2＝2時，取得最大值），此時b＝0，c，

經驗證，滿足題意．

故當b＝0，c時，M（b，c）取得最小值，且最小值為．