Question

如圖所示，ABCD是一塊邊長為7米的正方形鐵皮，其中ATN是一半徑為6米的扇形，已經(jīng)被腐蝕不能使用，其余部分完好可利用．工人師傅想在未被腐蝕部分截下一個有邊落在BC與CD上的長方形鐵皮PQCR，其中P是

TN

上一點．設∠TAP=θ，長方形PQCR的面積為S平方米．
（1）求S關(guān)于θ的函數(shù)解析式；
（2）設sinθ+cosθ=t，求S關(guān)于t的表達式以及S的最大值．

Answer 1

分析：（1）延長RP交AB于E，延長QP交AD于F，由ABCD是正方形，推出S關(guān)于θ的函數(shù)解析式；
（2）設sinθ+cosθ=t，利用平方關(guān)系求出sinθcosθ=

t2-1

2

，通過θ的范圍求出t的范圍，得到S關(guān)于t的表達式，利用二次函數(shù)的性質(zhì)求出S的最大值．

解答：解：（1）延長RP交AB于E，延長QP交AD于F，
由ABCD是正方形，PRCQ是矩形，可知PE⊥AB，PF⊥AD，
由∠TAP=θ，可得EP=6cosθ，F(xiàn)P=6sinθ，
∴PR=7-6sinθ，PQ=7-6cosθ，（4分）
∴S=PR•PQ=（7-6sinθ）（7-6cosθ）=49-42（sinθ+cosθ）+36sinθcosθ
故S關(guān)于θ的函數(shù)解析式為S=49-42（sinθ+cosθ）+36sinθcosθ(0≤θ≤

π

2

)．（6分）
（2）由sinθ+cosθ=t，可得t²=（sinθ+cosθ）²=1+2sinθcosθ，
即sinθcosθ=

t2-1

2

，
∴S=49-42t+18（t²-1）=18t²-42t+31．　（9分）
又由0≤θ≤

π

2

，可得

π

4

≤θ+

π

4

≤

3π

4

，
故t=sinθ+cosθ=

2

sin(θ+

π

4

)∈[1，

2

]，
∴S關(guān)于t的表達式為S=18t²-42t+31（t∈[1，

2

]）．（11分）
又由S=18(t-

7

6

)2+

13

2

，t∈[1，

2

]
可知當t=

2

時，S取最大值，
故S的最大值為67-42

2

．（14分）

點評：本題是中檔題，考查函數(shù)解析式的求法，注意必須注明函數(shù)的定義域，利用換元法求出函數(shù)的表達式，二次函數(shù)的最值的求法，考查計算能力．