Question

（2006•浦東新區一模）（1）若等比數列{a_n}的前n項和為S_n=3•2ⁿ+a，求實數a的值；
（2）對于非常數列{a_n}有下面的結論：若數列{a_n}為等比數列，則該數列的前n項和為S_n=Aa_n+B（A，B為常數）．判斷它的逆命題是真命題還是假命題，并說明理由．
（3）若數列{a_n}為等差數列，則該數列的前n項和為Sn=

n(a1+an)

2

．對其逆命題進行研究，寫出你的結論，并說明理由．

Answer 1

分析：（1）令n=1，得到S₁=a₁，求出首項a₁的值，然后根據a_n=S_n-S_n-1，得出通項公式，把a₁的值代入即可求出a的值；
（2）寫出已知命題的逆命題，判斷得到其逆命題為假命題，可以舉一個反例來說明；
（3）寫出已知命題的逆命題，判斷得到其逆命題為真命題，可以利用數學歸納法來證明，令n=3，代入已知的S_n中，得到2a₂=a₁+a₃，可得此數列為等差數列，然后設n=k時，數列{a_n}是等差數列，推理得到n=k+1時，數列也為等差數列，故此命題為真命題．

解答：解：（1）a₁=6+a，（1分）
當n≥2時，a_n=S_n-S_n-1=3•2ⁿ-3•2^n-1=3•2^n-1（2分），
因為數列{a_n}為等比數列，所以a₁滿足a_n的表達式，即6+a=3•2⁰，a=-3；（4分）
（2）逆命題：數列{a_n}是非常數數列，若其前n項和S_n=Aa_n+B（A，B為常數），則該數列是等比數列
判斷：是假命題． （7分）
直接舉反例，當A=0，B≠0時，數列{a_n}為：B，0，0，0，
故其前n項和滿足S_n=Aa_n+B（A，B為常數），但不是等比數列；（10分）
（3）逆命題：若數列{a_n}的前n項和Sn=

n(a1+an)

2

，則該數列是等差數列．
為真命題． （12分）
證明：n=3時，由2（a₁+a₂+a₃）=3a₁+3a₃⇒2a₂=a₁+a₃，命題成立，（13分）
假設n=k，（k≥3），Sk=

k(a1+ak)

2

時，數列{a_n}是等差數列，
當n=k+1時，2（S_k+a_k+1）=（k+1）（a₁+a_k+1），設a_k=a₁+（k-1）d
則（k-1）a_k+1=（k-1）（a₁+kd）…（16分）a_k+1=a₁+kd，即當n=k+1時，命題成立，（17分）
由數學歸納法可知，逆命題成立．（18分）

點評：此題考查了等比、等差數列的性質，數列的遞推式，命題與逆命題的關系，以及數學歸納法的運用，要說明一個命題為假命題，只需舉一個反例即可，要證明一個命題為真命題需要嚴格的證明．