Question

（2006•浦東新區模擬）已知函數f（x）=x²-2ax+a的定義域為（1，+∞），且存在最小值-2；（1）求實數a的值；（2）令g(x)=

f(x)

x

，求函數y=g（x）的最值．

Answer 1

分析：（1）根據已知中函數f（x）=x²-2ax+a的定義域為（1，+∞），且存在最小值-2，根據二次函數的圖象和性質，分別討論a＞1與a≤1兩種情況下a的取值，即可求出滿足條件的實數a的值；
（2）根據（1）的結論，我們根據g(x)=

f(x)

x

，可以求出函數y=g（x）的解析式，利用基本不等式，我們易求出函數y=g（x）的最值．

解答：解：（1）∵函數f（x）=x²-2ax+a的定義域為（1，+∞），
又∵f（x）=（x-a）²+a-a²，…（1分）
若a＞1，則當x=a時，f_min（x）=a-a²=-2…（3分）
解得a=2或a=-1（舍）
∴a=2…（5分）
說明：若a≤1，則f（x）在（1，+∞）上單調遞增，無最小值，無論是否討論a≤1均不扣分
（2）∵a=2，
∴f（x）=x²-4x+2，…（6分）
∴g(x)=

f(x)

x

=

x2-4x+2

x

=x+

2

x

-4，x∈(1，+∞)…（8分）
∵x+

2

x

≥2

2

，當且僅當x=

2

x

，x=

2

∈(1，+∞)時等號成立…（10分）
∴當x=

2

時，g（x）取最小值2

2

-4，無最大值…（12分）

點評：本題考查的知識點是二次函數的性質，基本不等式，其中熟練掌握二次函數的圖象和性質是解答（1）的關鍵，而利用基本不等式求出x+

2

x

≥2

2

是解答（2）的關鍵．