Question

【題目】已知正數數列{an}的前n項和為Sn ， 點P（an ， Sn）在函數f（x）= x2+ x上，已知b1=1，3bn﹣2bn﹣1=0（n≥2，n∈N*），
（1）求數列{an}的通項公式；
（2）若cn=anbn ， 求數列{cn}的前n項和Tn；
（3）是否存在整數m，M，使得m＜Tn＜M對任意正整數n恒成立，且M﹣m=9，說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵點P（an，Sn）在函數f（x）= x2+ x上，

∴Sn= + an，Sn﹣1= + an﹣1（n≥2），

兩式相減，整理得：（an+an﹣1）（an﹣an﹣1﹣1）=0，

又∵an＞0，

∴an=an﹣1+1，

又∵S1= + a1，即a1=1，

∴數列{an}是首項和公差均為1的等差數列，

∴an=n；

（2）解：∵b1=1，3bn﹣2bn﹣1=0（n≥2，n∈N*），

∴數列{bn}是首項為1、公比為 的等比數列，

∴ ， ，

∴ ，

Tn= +2× +…+n× ，

兩式相減，得： Tn=1+ + +…+ ﹣n×

= ﹣n×

=3﹣（n+3）× ，

∴Tn=9﹣（3n+9）×

（3）解：結論：假設存在整數m、M，使得m＜Tn＜M對任意正整數n恒成立，且M﹣m=9．

理由如下：

由（2）知：Tn=9﹣（3n+9）× ＜9，

又∵Tn﹣1=9﹣[3（n﹣1）+9]× ，

∴Tn﹣Tn﹣1=（3n+6）× ﹣（3n+9）× =n× ＞0，

∴數列{Tn}是單調遞增數列，

∴（Tn）min=T1=9﹣12× =1，

∴1＜Tn＜9，

∴m=0，M=9，

∴存在整數m、M，使得m＜Tn＜M對任意正整數n恒成立，且M﹣m=9．

【解析】（1）通過將點P（an ， Sn）代入函數f（x）= x2+ x中，利用Sn= + an與Sn﹣1= + an﹣1（n≥2）作差，進而可知數列{an}是首項和公差均為1的等差數列，計算即得結論；（2）利用錯位相減法計算即得結論；（3）通過（2）知Tn＜9，利用作差法可知數列{Tn}是單調遞增數列，進而計算可得結論．
【考點精析】關于本題考查的數列的前n項和和數列的通項公式，需要了解數列{an}的前n項和sn與通項an的關系；如果數列an的第n項與n之間的關系可以用一個公式表示，那么這個公式就叫這個數列的通項公式才能得出正確答案．