Question

【題目】已知函數.

(1)當a=2時,求曲線在點處的切線方程；

(2)設函數,討論的單調性并判斷有無極值,有極值時求出極值.

Answer 1

【答案】(1) 3x﹣y﹣9=0;(2) 若a＞0時, 在（﹣∞，0）, （a，+∞）上單調遞增, 在（0，a）上單調遞減, 當x=a時，函數有極小值，極小值為g（a）=﹣a3﹣sina

當x=0時，有極大值，極大值為g（0）=﹣a; 若a＜0時, g（x）在（﹣∞，a）上單調遞增, 在（0，a）上單調遞減，當x=a時，函數有極大值，極大值為g（a）=﹣a3﹣sina

當x=0時，有極小值，極小值為g（0）=﹣a; 當a=0時, g（x）在（﹣∞，0）,（0，+∞）上單調遞增, 無極值.

【解析】試題分析：試題分析：

試題解析：（1）根據導數的幾何意義即可求出曲線y=f（x）在點（3，f（3））處的切線方程，（2）先求導，再分類討論即可求出函數的單調區間和極值.

試題解析：

（1）當a=2時，f（x）=x3﹣x2，

∴f′（x）=x2﹣2x，

∴k=f′（3）=9﹣6=3，f（3）=×27﹣9=0，

∴曲線y=f（x）在點（3，f（3））處的切線方程y=3（x﹣3），即3x﹣y﹣9=0

（2）函數g（x）=f（x）+（x﹣a）cosx﹣sinx=x3﹣ax2+（x﹣a）cosx﹣sinx，

∴g′（x）=（x﹣a）（x﹣sinx），

令g′（x）=0，解得x=a，或x=0，

①若a＞0時，當x＜0時，g′（x）＞0恒成立，故g（x）在（﹣∞，0）上單調遞增，

當x＞a時，g′（x）＞0恒成立，故g（x）在（a，+∞）上單調遞增，

當0＜x＜a時，g′（x）＜0恒成立，故g（x）在（0，a）上單調遞減，

∴當x=a時，函數有極小值，極小值為g（a）=﹣a3﹣sina

當x=0時，有極大值，極大值為g（0）=﹣a，

②若a＜0時，當x＞0時，g′（x）＞0恒成立，故若a＜0時，

當x＜a時，g′（x）＞0恒成立，故g（x）在（﹣∞，a）上單調遞增，

當a＜x＜0時，g′（x）＜0恒成立，故g（x）在（a，0）上單調遞減，

∴當x=a時，函數有極大值，極大值為g（a）=﹣a3﹣sina

當x=0時，有極小值，極小值為g（0）=﹣a

③當a=0時，g′（x）=x（x+sinx），

當x＞0時，g′（x）＞0恒成立，故g（x）在（0，+∞）上單調遞增，

當x＜0時，g′（x）＞0恒成立，故g（x）在（﹣∞，0）上單調遞增，

∴g（x）在R上單調遞增，無極值．