Question

如圖，四棱錐中，底面為正方形，，
平面，為棱的中點．

（1）求證：平面平面；
（2）求二面角的余弦值．
（3）求點到平面的距離．

Answer 1

（1）要證明面面垂直，根據平面，所以以及得到平面．從而得到證明。
（2）  （3）

解析試題分析：（1）證明：因為平面，所以． 2分
因為四邊形為正方形，所以，
所以平面．
所以平面平面．  4分 
（2）解：在平面內過作直線．
因為平面平面，所以平面．
由兩兩垂直，建立如圖所示的空間直角坐標系．
設，則．
所以 ，．
設平面的法向量為，則有
所以   取，得．
易知平面的法向量為．
所以 ．
由圖可知二面角的平面角是鈍角，      
所以二面角的余弦值為．   8分
（3）根據等體積法可知到平面的距離,則可以利用
 ,那么結合底面積和高可知          12分
考點：二面角和距離
點評：主要是考查了空間中的面面垂直的判定定理和二面角以及點到面的距離的求解，屬于中檔題。