Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系中，拋物線的焦點為，為拋物線上異于原點的任意一點，以為直徑作圓，當直線的斜率為1時，.

（1）求拋物線的標準方程；

（2）過焦點作的垂線與圓的一個交點為，交拋物線于，（點在點，之間），記的面積為，求的最小值.

Answer 1

【答案】（1）（2）

【解析】

（1）求得直線的方程，聯立拋物線方程，解得的坐標，由兩點的距離公式可得，進而得到所求拋物線方程；

（2）求得，設，，，，，，，，且，由向量垂直的坐標表示可得，由三角形的勾股定理和三角形的面積公式可得，設，聯立拋物線方程，運用韋達定理和弦長公式可得，再由兩直線垂直的條件，以及構造函數法，求得導數和單調性，計算可得所求最小值．

（1）當直線的斜率為1時，

可得直線的方程為，聯立拋物線方程，

解得，即，，即，

拋物線的方程為；

（2）由（1）可得，

設，，，，且，

由題意可得，即，

又，即，

整理可得，

又，

則，即，

又的斜率存在且不為0，，聯立拋物線方程可得，

可得，，則

，

由，可得，即，可得，

則，

可令，，

顯然在遞增，且，

當時，，時，，

可得在遞減，在遞增，

可得時，取得最小值23．

即求的最小值為23．