Question

【題目】已知函數 ．

（1）當時，求函數的單調增區間；

（2）當時，求函數在區間上的最大值；

（3）對任意，恒有，求實數的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）函數的單調遞增區間為 ， （2）函數取得最大值 （3）

【解析】

（1）將代入函數,去掉絕對值得到分段函數,然后分別求導,利用導數求函數的單調區間.

（2）,則,對函數求導,判斷單調性,根據單調性即可得出函數在區間上的最大值.

（3）由（1）（2）得,，分情況討論、時函數的單調性，從而得出實數的取值范圍．

（1）當時, ,

若時,則,令,解得；

若時,則恒成立,所以,

所以函數的單調遞增區間為 ，．

（2）若,當時, ,．

令,解得或．

列表如下：

當時,函數取得最大值．

（3）由（1）（2）得,．

①當時,即時,

,即．

因為在上單調遞增,

所以當時, 取得最小值,

所以,解得,又,所以．

②當即時,

當時,,即,

與矛盾,

所以,實數的取值范圍為．