Question

【題目】已知橢圓(a＞b＞0)的一個焦點與拋物線y2＝4x的焦點F重合，且橢圓短軸的兩個端點與點F構成正三角形.

(1)求橢圓的方程；

(2)若過點(1，0)的直線l與橢圓交于不同的兩點P，Q，試問在x軸上是否存在定點E(m，0)，使恒為定值？若存在，求出E的坐標，并求出這個定值；若不存在，請說明理由.

Answer 1

【答案】（1）；（2）見解析.

【解析】試題分析：（1）求出拋物線的焦點坐標，可得c，再求出b的值，即可求橢圓的方程；
（2）分類討論，設出直線方程，代入橢圓方程，利用韋達定理，結合向量的數量積公式，即可求得結論．

試題解析：

(1)由題意，知拋物線的焦點為F(，0)，

所以c＝＝.

因為橢圓短軸的兩個端點與F構成正三角形，

所以b＝×＝1.

可求得a＝2，故橢圓的方程為＋y2＝1.

(2)假設存在滿足條件的點E，當直線l的斜率存在時設其斜率為k，則l的方程為y＝k(x－1).

由

得(4k2＋1)x2－8k2x＋4k2－4＝0.

設P(x1，y1)，Q(x2，y2)，

所以x1＋x2＝，x1x2＝.

則＝(m－x1，－y1)，＝(m－x2，－y2)，

所以·＝(m－x1)(m－x2)＋y1y2

＝m2－m(x1＋x2)＋x1x2＋y1y2

＝m2－m(x1＋x2)＋x1x2＋k2(x1－1)(x2－1)

＝m2－＋＋k2

＝

＝

＝ (4m2－8m＋1)＋.

要使·為定值，則2m－＝0，

即m＝，此時·＝.

當直線l的斜率不存在時，

不妨取P，Q，

由E，可得＝，＝，

所以·＝－＝.

綜上，存在點E，使·為定值.