Question

【題目】在平面直角坐標系中，圓，以坐標原點為極點，軸正半軸為極軸，直線的極坐標方程為，直線交圓于兩點，為中點.

（1）求點軌跡的極坐標方程；

（2）若，求的值.

Answer 1

【答案】(1) ，．(2) 或．

【解析】

(1)聯立極坐標方程,利用為中點與韋達定理分析求解即可.

(2)根據極經的幾何意義分別表示,再利用韋達定理求關于的方程求解即可.

解法一：（1）圓的極坐標方程為

將代入得：

，

成立，

設點對應的極徑分別為，

所以，

所以，

所以點軌跡的極坐標方程為，．

（2）由（1）得，

，

所以，，

又，所以或，

即或

解法二：

（1）因為為中點，

所以于，

故的軌跡是以為直徑的圓（在的內部），

其所在圓方程為：，

即.

從而點軌跡的極坐標方程為，．

（2）由（1）得，

，

令，因為，所以，

則，

所以，所以，

即，解得（舍去），

所以，

又，，

所以或，

即或．