Question

【題目】設，函數

（1）若，求出函數在區間上的最大值.

（2）若，求出函數的單調區間（不必證明）

（3）若存在，使得關于方程有三個不相等的實數根，求出實數的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）

（2）遞增區間和遞減區間

（3）

【解析】

（1）當時，，結合去絕對值解法求最值即可；

（2）同樣是采用去絕對值解法，寫出分段函數，畫出函數大致圖像，判斷函數增減區間即可；

（3）可結合（1）（2）結果，以為分界，再結合函數圖像確定函數圖像的增減性，結合數形結合思想得出關于參數的不等式，再結合對勾函數性質即可求解

（1）當時，，畫出函數圖像，如圖：

當時，函數為增函數，；

（2）當時，，

當時，函數對稱軸為，所以當時，單調遞增；

當時，函數對稱軸為，當時，函數單調遞增，當時，函數單調遞減，

綜上所述，當和時，函數單增，當時，函數單調遞減；

（3）當時，，函數在時單增，，此時分段函數對應的對稱軸在軸右側，則在時，也時單增，不可能使得

有三個不相等的實數根；

當時，，要使有三個不相等的實數根，即應介于如圖所示兩虛線范圍之間，，當時，

，即，

化簡得，，時取到最小值，當時，單調遞增（對勾函數性質），則，

故，故