Question

【題目】已知函數．

（1）若函數f（x）在（0，+∞）上是減函數，其實數m的取值范圍；

（2）若函數f（x）在（0，+∞）上存在兩個極值點x1，x2，證明：lnx1+lnx2＞2．

Answer 1

【答案】（1）．（2）證明見解析

【解析】

(1)由題知在上恒成立.參變分離求實數m的取值范圍即可.

(2)求導代入極值點分析滿足的關系式,再代換構造出關于的方程,再換元證明不等式即可.

（1）由函數f（x）在（0,+∞）上是減函數,可知,f′（x）＝lnx﹣mx≤0恒成立,

∴m恒成立,故mmax,

令g（x）,x＞0,

則g′（x）,

當x∈（0,e）,g′（x）0,g（x）單調遞增,

當x∈（e,+∞）,則g′（x）0,g（x）單調遞減,

g（x）max＝g（e）,

∴．

（2）由（1）f′（x）＝lnx﹣mx,

由f（x）在（0,+∞）上存在兩個極值點,不妨設x1＜x2,

知,

則m,

又m,

∴,

即lnx1+lnx2,

設t∈（0,1）,

要證明：lnx1+lnx2＞2,

只要證,

只要證lnt,

即證lnt0,

構造函數h（t）＝lnt,

h′（t）0,

h（t）在（0,1）上單調遞增,

∴h（t）＜h（1）＝0,

即h（t）＝lnt0,

∴lnx1+lnx2＞2．